Voilà déjà quelques documents à "travailler" :
exercices-olymp.pdf
exo-olymp1.pdf
olympiadesbelges.pdf
sujet2002-olymp-lyon.pdf
Un exercice de l'olympiade belge
:
Pour combien d'entiers x l'expression (10x+1)/(2x-1) est-elle entière ?
Solution abrégée :
écrire que (10 x+1)/(2 x -1)=5+6/(2 x
-1).
Il faut donc trouver les x entiers tels que 6/(2 x - 1) soit un entier. C'est plus facile ! Il est non difficile de montrer que, dès que x (entier) est
strictement plus grand que 3, 6/(2 x - 1) ne peut être entier. Et pareil si x est strictement plus petit que -2.
Reste à essayer -1; 0, 1 , 2 et 3. C'est bon seulement pour les quatre premiers !
Un exercice du championnat mathématique du Niger :
Comment savoir le nombre de bras, de jambes et d'yeux possédés par un martien ? rien de plus simple ! Considérez pour les deux
premiers nombres cherchés leur somme puis leur produit. Ajoutez-les ! Vous obtiendrez 34. Faites de même pour le nombre de jambes et d'yeux et vous trouverez 14 . Avec ça, vous pouvez trouver le
résultat ( il va sans dire que les martiens ont un nombre entier de bras, de jambe et d'yeux !)
Solution :
Soient b, j, y le nombre de bras, jambes et yeux d'un martien complet. La traduction de l'énoncé donne :
b+j+bj=34 et j+y+jy= 14
Pas évident ! Deux équations et 3 inconnues !!
Une astuce tordue consiste à penser que :
(b+1)(j+1)=b+j+bj+1 et de même (j+1)(y+1)=j+y+jy+1
En posant B=b+1 , J=j+1 et Y=y+1, on tombe sur les deux équations :
BxJ=35 et JxY=15
Comme B, J et Y sont des entiers, il est non difficile de trouver les deux solutions du problème :
6 bras, 4 jambes et 2 yeux ou alors 34 bras, 0 jambes et 14 yeux.
QUELQUES YEUX DE MARTIENS EN VRAC!
