prof-math-pablo1

Un élève de première S ayant résolu cette énigme, j'en donne une solution qui n'est pas celle de l'élève (il a développé, ce qui marche aussi très bien).

Je vais factoriser en utilisant deux identités bien utiles :

A³ - B³ = (A-B)(A²+AB+B²)

 et

A³ +B³ = (A+B)(A²-AB+B²)

Et en écrivant l' équation :

(X+1)³+(X+2)³ = (X+3)³- X³

J'applique la deuxième identité au membre de gauche :

(X+1+X+2)( X²+2X+1-(X+1)(X+2)+X²+4x+4)= (2X+3)(X²+3X+3)

J'applique la première identité au membre de droite :

3( X²+6X+9+X(X+3)+X²)=9(X²+3X+3)

L'équation devient :

(2X+3)(X²+3X+3)= 9(X²+3X+3)

soit :

(2X-6)(X²+3X+3)=0

Facile de voir que X²+3X+3 a un discriminant strictement négatif, donc que la seule solution de cette équation est 3.

Il n'y a donc qu'un seul nombre qui vérifie ce joli calcul :

X³+(X+1)³+(X+2)³=(X+3)³

Dommage !