prof-math-pablo1

Quelques petits exercices trop durs ! Mais l'important est de chercher, on finit toujours par trouver quelque chose !

Problème 1 sur les suites :

x₀=1

x₁=(1+x₀²)/1
x₂=(1+x₀²+x₁²)/2

x₃=(1+x₀²+x₁²+x₂²)/3
............................................
x_n+1=(1+x₀²+x₁²+x₂²+...+x_n²)/(n+1)

Est ce que tous les termes de cette suite sont des entiers ?
Solution du problème sur la suite olympiades3.pdf

Problème 2 sur les diviseurs :

Vérifier que 40311,40312,40313,40314 et 40315 ont tous le même nombre de diviseurs.
C'est une des plus longues suites d'entiers consécutifs ayant cette propriété !
Sauriez vous trouver des suites d'entiers consécutifs, même moins longues, ayant cette propriété ?


Problème infernal !

1234567891 est-il un nombre premier ?

Problème hyperinfernal !

Voilà trois nombres A, B, C qui vérifient à la fois les propriétés 1 et 2 ci-dessous :

Propriété 1 : A²+B²+C² est le carré d'un entier ( sa racine carrée est un nombre entier)

Propriété 2 : A³+B³+C³ est le cube d'un entier ( sa racine cubique est un nombre entier )

Attachez vos ceintures, voilà les trois nombres :

A=11 868 013 975 030 087
B=16 269 106 368 215 226
C= 88 837 226 814 909 894

Ce sont les plus petits à vérifier à la fois les deux propriétés !!

Trouveriez vous des nombres A et B ayant seulement l'une ou l'autre ou les deux propriétés ci dessous :

Propriété 1bis : A²+B² est le carré d'un entier ( sa racine carrée est un nombre entier)

Propriété 2 bis : A³+B³ est le cube d'un entier ( sa racine cubique est un nombre entier )


Problème suivant : CARRE BIMAGIQUE
Vérifier que le carré d'entiers ci-dessous est magique et que, si l'on élève au carré chacun de ces termes, on trouve encore un carré magique :