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Je profite du site accromath.ca pour vous inviter à consulter ce document sur Sophie Germain dont nous avons déjà parlée :

Germain

Dans cette figure, les deux cordes [AC] et [BD] sont perpendiculaires. On a tracé les demi-cercles de diamètres [AB],[BC],[CD] et [DA].

Le problème est de comparer les surfaces suivantes :

la surface des lunules grises

la surface du quadrilatère ABCD

bonne chance !

La solution m'a été demandée par Michel : en voilà une :

1ère étape

Tracer le diamètre parallèle à [AC] et marquer le point E, symétrique de C par rapport à ce diamètre. E est évidemment sur le cercle et par symétrie, EB=CD.

Or EB²=4R²-AB² en appliquant le th de Pythagore dans le triangle rectangle ABE ( R est le rayon du cercle).

Comme CD²= d²+c²  et que AB²=a²+b² on en déduit :

a²+b²+c²+d²=4R²

2ème étape

Les quatre demi-disques de diamètres AB, BC, DC et AD ont une aire totale de :

(1/2)x(pi)x[ (AB/2)²+(BC/2)²+ (DC/2)²+(AD/2)² ] = (1/4)x(pi)x(a²+b²+c²+d²)

En tenant compte de la première étape cela vaut : (pi)xR² c'est-à dire la surface du  grand disque.

dernière étape

 L'aire des lunules  ajoutée à celle du disque donne l'aire du quadrilatère ajoutée à celles des quatre demi-disques :

Lunules + pi R² = quadrilatère + (1/4)x(pi)+(a²+b²+c²+d²)

d'après la deuxième étape, on en déduit :

Lunules = quadrilatère