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A lire : le numéro d'août -octobre des"génies de la sciences" (pour la science) consacré à Gauss


Carl Friedrich Gauss est né à Brunswick en 1777 dans une famille modeste. Il est mort en 1855, à Göttingen, considéré comme le plus grand scientifique allemand de l'époque.
Il est contemporain des écrivains Goethe(1749-1832) et Novalis(1772-1832).

Il est très tôt remarqué par ses professeurs. Ses études sont prises en charge financièrement par le Duc de Brunswick.

Ses travaux ont porté sur les mathématiques, l'astronomie, le magnétisme, l'optique. Il a été également chargé de la cartographie de l'Etat de Hanovre, tâche qui l'a occupé pendant plus d'une dizaine d'années.

Mathématiques : arithmétique, géométrie, algèbre,...
Il donne une démonstration rigoureuse du théorème de décomposition des nombres entiers en produit de premiers.
Il "invente" les congruences arithmétiques ( que les élèves de Terminales étudient en spécialité)
Il démontre que le polygone de 17 côtés est constructible à la règle et au compas.


Il démontre le théorème fondamental de l'algèbre ( tout polynôme de degré n possède n racines-- à condition de considérer les polynômes à coefficients complexes -- les nombres complexes sont étudiés en 1ère STI et en terminale S)
Il "invente" la "distribution normale" ( courbe de Gauss) étudiée entre autre en statistique par les élèves de 1ère Littéraire.

Astronomie
En 1801 et en 1802, deux nouvelles planètes sont découvertes ( Cérès et Pallas) . Il détermine leurs trajectoires.

Magnétisme

Une unité physique porte son nom ( le gauss).

Optique :

Il travaille sur la théorie des lentilles.

Cartographie

Il invente un appareil ( l'héliotrope) permettant de diriger un faisceau de rayons lumineux du soleil dans une direction voulue.

Gauss a eu pour élèves des mathématiciens qui sont devenus aussi célèbres  que lui :

Riemann , Dedekind, Möbius et quelques autres

Le nombre n⁴+4ⁿ vaut 5 lorsque n=1 et il est alors premier. Mais lorsque n=2, il vaut 32 et n'est pas premier.
Sauriez vous montrer que dès que n est supérieur strictement à 1, le nombre n⁴+4ⁿ  est non premier.

Voilà Paul Halmos en pleine action !
Né en 1916, paul Halmos est décédé en 2006.

 

Le probléme est tiré d'un livre paru aux éditions Cassini : problémes pour mathématiciens petits et grands. Pour le résoudre des connaissances de début de première S suffisent, mais il faut chercher, s'accrocher, ce n'est pas un problème facile !...

 

Un lien pour suivre une (passionnante )conférence sur le dit nombre :

link
(conférence de la Cité des Sciences et de l'industrie)


Lire le chapitre 9 du livre de Jean Paul Delahaye : Les Inattendus Mathématiques (Belin-Pour la science)

Quelques mots du prof de math:
1) la notation Φ pour désigner la solution positive de l'équation x²=x+1 date de 1914 et elle est dûe au mathématicien T.Cook.
                         
                                        La diagonale est égale à Φx(le côté)

2) Le culte de ce nombre est né des travaux esthético-religieux d'un moine de la renaissance ( Luca Pacioli) qui donne à ce nombre le nom de "divine proportion". Son livre fut illustré par Léonard de Vinci. Il faut souligner que ce n'est pas un livre de mathématiques ! 

3) Le mythe, voire le culte rendu à Φ , culte de nature plutôt "numérologique", date du XXème siècle. A partir de ce moment là, tout le monde s'est mis à voir ce nombre magique, divin, etc... un peu partout. 
                          

Contrairement à ce qu'on a prétendu, ce fameux dessin de Léonard de Vinci n'est pas fondé sur le nombre d'or, mais sur le carré, les divisions en quarts et huitièmes...

4) D'un point de vue scientifique  Φ apparaît dès que l'on travaille sur le pentagone, figure tout de même assez banale. On peut l'utiliser dans toute sorte de constructions, mais √2 ou √3 peuvent aussi être utilisés ( l'un est lié au carré, l'autre au triangle équilatéral )

5) La valeur approchée au centième par défaut de Φ est 1,618. A l'oeil il n'est pas évident de distinguer cette valeur approchée de 1,6 ou même de 1,5. Les nombreuses approximations dans les mesures permettent à ceux qui le veulent de voir le nombre d'or là où ils le veulent...

6) Il faut sans doute dépouiller Φ de ses oripeaux magiques pour en goûter la simple beauté mathématique. ( et toc!)
            
       
                 Escargot d'or : la spirale s'inscrit dans des rectangles d'or
  

7) Dans le langage mathématique, on dit que Φ est un nombre algébrique ( il est solution d'une équation polynômiale). D'autre nombres réels, qui n'ont pas cette propriété sont appelés transcendants. Par exemple le nombre π, rapport exact de la circonférence d'un cercle parfait à son diamètre, est un tel nombre. Lui aussi a nourri l'imagination des magiciens. Restons les pieds sur terre !!

"Corps ou solides platoniciens.-Nom donné, en raison des travaux de Platon, aux cinq polyèdres réguliers convexes."
(Dictionnaires des mathématiques de Bouvier & Le Lionnais)

Petit tableau descriptif :

	Tétraèdre	Cube	Octaèdre	Dodécaèdre	Icosaèdre
Sommets	4	8	6	20	12
Arêtes	6	12	12	30	30
Faces	4	6	8	12	20

"Caractéristique d'Euler-Poincaré d'un polyèdre.- Pour un polyèdre possédant S sommets, A arêtes et F faces, on appelle caractéristique d'Euler-Poincaré l'entier S-A+F. Pour un polyèdre convexe, elle est égale à 2 ( théorème de Descartes-Euler)."
(Dictionnaires des mathématiques de Bouvier & Le Lionnais)

Vérifier ce théorème avec les corps platoniciens.

Les dates des mathématiciens cités :
Platon : 428-347 av. J.C. C'est un grec ( Athènes)
Descartes  René : 1596-1650 ( français)
Poincaré Henri  : 1854-1912 (français)

Voilà, autour du dodécaèdre, et sur un fond d'hexagones, les cinq solides de Platon:




L'icosaèdre de plus près :

ENIGME N°1
Une bouteille d'un litre a la forme d'un cylindre de 20 cm de haut  surmonté d'un goulot de forme tarabiscotée. Cette bouteille contient du bon vin et elle est bien bouchée ! Si la bouteille est tenue verticalement goulot vers le haut, on mesure 14 cm de vin. Si elle est tenue à l'envers ( goulot vers le bas), on mesure 11 cm d'air.
Quel volume de vin y-a-t-il dans la bouteille ?

ENIGME N°2

Les cinq enfants d'un brocanteur héritent de 65 objets, le premier estimé à 1euro, le second à deux euros, ..., le soixante-cinquième à 65 euros.Comment partager ces objets en 5 lots de même valeurs et contenant le même nombre d'objets ?

ENIGME N°3

Calculer de tête la racine carrée de (8x9x10x11+1).


L'awalé, excellent jeu africain qui développera vos capacités mathématiques !



ENIGME N°4

Quelle est le chiffre des centaines de 18045^3=18045x18045x18045 ?
(ne pas utiliser de calculatrice)

ENIGME N°5
Dansune classe de 34 élèves, 22 savent skier, 14 jouent aux échecs et 18 font du roller, mais personne ne pratique les trois activités. tous ceux qui pratiquent l'une de ces activités ont la moyenne en mathématiques. 7 élèves n'ont pas la moyenne en mathématiques.
Combien de joueurs d'échecs savent skier ?

ENIGMETTE N°6
Dans une tribu de 90 guerriers, chaque guerrier décore sa lance avec 9 plumes rouges et blanches. Les plumes sont fixées sur la lance en ligne de telle sorte que deux plumes rouges ne peuvent pas être côte à côte. Est ce que tous les guerriers peuvent avoir des lances différemment colorées ?



JE VOUS SOUHAITE DE FAIRE LA LUMIERE FACILEMENT !!!

Les énigmes 3, 4 et 6 sont tirées du numéro jeux mathématiques spécial été 2008 du mensuel La Recherche.
les autres sont tirées d'un recueil de problèmes posés au Rallye Mathématique des Lycées de Bourgogne.