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L'exercice 32 ne nécessite normalement aucune aide !

Pour l'exercice 70 page 103, il faut lire avec attention le sujet !

La fonction f donne l'altitude de l'aigle en fonction de sa position x sur le sol (comptée à partir d'un point O)

D'autre part, on prend en compte la trajectoire de l'aigle à partir de x=1 (on peut raisonnablement penser que c'est au moment où l'aigle est juste au dessus de cette position qu'il aperçoit le lapin...

Dans la première question il faut donc calculer f(1).

Dans la deuxième question, un peu de sens pratique et physique !

Si l'aigle attrape le lapin, pour la position correspondant à x=4 (position du lapin), l'altitude de l'aigle doit être nulle ou quasi nulle.

D'autre part, l'aigle doit arriver tangentiellement au sol (la tangente à sa trajectoire à ce moment là doit être confondue avec la ligne du sol)... A votre avis pourquoi ?

Imaginez que l'aigle arrive au sol avec une tangente à sa trajectoire qui fasse un angle non nul avec le sol. Que se passerait-il ? (faites un dessin)

Les conditions sont donc f(4)=0 et f ' (4)=0...

Il faut vérifier que la fonction donnée remplie bien ces conditions...

Dans la partie B, le texte explique qu' à partir de la position verticalement au dessus de x=10, la trajectoire de l'aigle se modifie sous l'effet du poids du vieux et lourd lapin (pas de chance pour le jeune aigle sans expérience !!).

Pour que les deux trajectoires se joignent "parfaitement", il faut évidemment que 

f(10)=g(10)...

 La deuxième trajectoire doit commencer où finit la première !

Mais pour que ce soit parfait, il faut que la trajectoire soit bien lisse, sans brisure... La tangente à la première trajectoire au point verticalement au dessus de x=10  doit être la même que la tangente à la deuxiéme trajectoire...

On doit donc avoir les coefficients directeurs de ces tangentes  égaux... Je vous laisse finir

Dans la dernière question, il faut étudier la deuxième trajectoire c'est-à-dire la fonction g pour x>10 (sens de variations, a-t-elle un maximum...?)

Un élève de première S ayant résolu cette énigme, j'en donne une solution qui n'est pas celle de l'élève (il a développé, ce qui marche aussi très bien).

Je vais factoriser en utilisant deux identités bien utiles :

A³ - B³ = (A-B)(A²+AB+B²)

 et

A³ +B³ = (A+B)(A²-AB+B²)

Et en écrivant l' équation :

(X+1)³+(X+2)³ = (X+3)³- X³

J'applique la deuxième identité au membre de gauche :

(X+1+X+2)( X²+2X+1-(X+1)(X+2)+X²+4x+4)= (2X+3)(X²+3X+3)

J'applique la première identité au membre de droite :

3( X²+6X+9+X(X+3)+X²)=9(X²+3X+3)

L'équation devient :

(2X+3)(X²+3X+3)= 9(X²+3X+3)

soit :

(2X-6)(X²+3X+3)=0

Facile de voir que X²+3X+3 a un discriminant strictement négatif, donc que la seule solution de cette équation est 3.

Il n'y a donc qu'un seul nombre qui vérifie ce joli calcul :

X³+(X+1)³+(X+2)³=(X+3)³

Dommage !

Voilà quelques formules inventées par Ramanujan : testez les !

Voilà une citation du philosophe des lumières CONDILLAC ( Etienne BONNOT de CONDILLAC, né à Grenoble en 1715 et mort en 1780) :

" L'algèbre est une langue bien faite, et c'est la seule : rien n'y paraît arbitraire (...) Il ne s'agit pas de parler comme les autres, il faut parler d'après la plus grande analogie pour arriver à la plus grande précision; et ceux qui ont fait cette langue ont senti que la simplicité du style en fait toute l'élégance : vérité peu connue dans nos langues vulgaires. "

J'espère que ça vous en bouche un coin !

Je vous invite par ailleurs à lire l'article sur Condillac de WIKIPédia

Regardez cette figure :

Il y a un quart de cercle de centre (0;1) et de rayon 1 et des courbes (en couleur) qui représentent les  fonctions x² , x³, x⁴,...

Il faudrait montrer que ces courbes coupent toutes le quart de cercle (en combien de points) ainsi que les courbes xⁿ avec n un entier positif non nul...

De plus que font les points d'intersection lorsque n devient de plus en plus grand?